Binomialverteilungs-Rechner
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Wie wahrscheinlich sind genau sechs richtige Antworten bei zehn geratenen Ja-Nein-Fragen? Der Binomialverteilung Rechner hilft dabei, solche Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen. Er eignet sich für Versuche mit zwei möglichen Ausgängen, etwa Treffer und Nichttreffer. Im Folgenden erkläre ich, welche Angaben benötigt werden und wie sich das Ergebnis lesen lässt.
Was bedeuten n, p und k?
Eine binomialverteilte Zufallsvariable X zählt die Treffer bei einer festen Anzahl von Versuchen. Für die Berechnung sind drei Größen wichtig:
- n: Anzahl der Versuche, beispielsweise zehn Münzwürfe.
- p: Trefferwahrscheinlichkeit pro Versuch, beispielsweise 0,5 für „Kopf“ bei einer fairen Münze.
- k: Anzahl der gesuchten Treffer, beispielsweise sechsmal „Kopf“.
Die Versuche müssen unabhängig sein, und die Trefferwahrscheinlichkeit muss gleich bleiben. Ziehen ohne Zurücklegen erfüllt diese Voraussetzungen im Allgemeinen nicht.
Beispiel: Sechsmal Kopf bei zehn Würfen
Für genau k Treffer lautet die Formel:
P(X = k) = [n! / (k! · (n − k)!)] · pk · (1 − p)n − k
Das Ausrufezeichen bezeichnet die Fakultät. Der Ausdruck in eckigen Klammern zählt, auf wie viele Arten sich die Treffer auf die Versuche verteilen lassen.
Bei zehn fairen Münzwürfen ergibt sich für genau sechs Treffer:
P(X = 6) = 210 · 0,56 · 0,54 = 0,205078125 ≈ 20,51 %.
| Gesuchtes Ereignis | Schreibweise | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| Genau sechs Treffer | P(X = 6) | 20,51 % |
| Höchstens sechs Treffer | P(X ≤ 6) | 82,81 % |
| Mindestens sechs Treffer | P(X ≥ 6) | 37,70 % |
„Mindestens“ ist nicht „genau“
Mein Hinweis zur Eingabe: Achte auf die Formulierung der Aufgabe. „Höchstens sechs“ umfasst null bis sechs Treffer; „mindestens sechs“ umfasst sechs bis zehn. Für die letzte Wahrscheinlichkeit gilt die Gegenereignisregel: P(X ≥ 6) = 1 − P(X ≤ 5).
Unser Rechner auf androidig.de erleichtert diese Berechnungen. Zur Einordnung dient außerdem der Erwartungswert n · p: Im Beispiel beträgt er fünf Treffer. Er beschreibt den langfristigen Durchschnitt vieler Wiederholungen, nicht das garantierte Ergebnis eines einzelnen Durchgangs.
