Partielle-Ableitung-Rechner
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Bei einer Funktion wie f(x, y) = x²y + 3y² hängt das Ergebnis von zwei Variablen ab. Wie verändert sich der Funktionswert, wenn nur x steigt und y gleich bleibt? Genau das beschreibt die partielle Ableitung. Unser Rechner hilft dabei, solche Ableitungen zu berechnen. Im Folgenden erkläre ich den Rechenweg an einem Beispiel.
Eine Variable ändern, die anderen festhalten
Beim partiellen Ableiten wird nur nach einer ausgewählten Variablen differenziert. Alle anderen Variablen behandelt man dabei wie Konstanten. Die bekannten Ableitungsregeln bleiben gültig: etwa Potenzregel, Produktregel und Kettenregel.
Die Schreibweise ∂f/∂x bezeichnet die partielle Ableitung nach x. Entsprechend steht ∂f/∂y für die Ableitung nach y.
Rechenbeispiel: f(x, y) = x²y + 3y²
Nach x ableiten: Der Faktor y bleibt unverändert. Aus x²y wird deshalb 2xy. Der Ausdruck 3y² enthält kein x; seine Ableitung nach x ist null.
∂f/∂x = 2xy
Nach y ableiten: Jetzt ist x² ein konstanter Faktor. Aus x²y wird x², aus 3y² wird 6y.
∂f/∂y = x² + 6y
Setzt man anschließend konkrete Koordinaten ein, erhält man die jeweiligen Änderungsraten:
| Punkt (x, y) | ∂f/∂x = 2xy | ∂f/∂y = x² + 6y |
|---|---|---|
| (2, 1) | 4 | 10 |
| (1, 2) | 4 | 13 |
| (3, 2) | 12 | 21 |
Ergebnisse richtig lesen
Am Punkt (2, 1) bedeutet der Wert 4: Bleibt y = 1 konstant, verändert sich der Funktionswert bei einer kleinen Änderung von x näherungsweise um 4 · Δx. Für Δx = 0,01 sind das ungefähr 0,04.
Leite zuerst symbolisch ab und setze erst danach Zahlen ein. Werden beide Variablen vorher durch Zahlen ersetzt, bleibt lediglich eine Konstante übrig.
Zweite und gemischte Ableitungen
Auch die Ableitungen lassen sich erneut differenzieren. Im Beispiel gilt ∂²f/∂x² = 2y und ∂²f/∂y² = 6. Die beiden gemischten Ableitungen ergeben jeweils 2x. Bei dieser Polynomfunktion ist ihre Reihenfolge somit vertauschbar.
